Giải bài tập trang 120 bài ôn tập chương I – hệ thức lượng trong tam giác vuông Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 1. Câu 84: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC…
Câu 84 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho
Bạn Đang Xem: Giải bài 84, 85, 86, 87 trang 120 SBT Toán 9 tập 1
AD = DE = EC.
a) Chứng minh: \({{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)
b) Chứng minh ∆BDE đồng dạng ∆CDB
c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách
Cách 1: sử dụng kết quả ở câu b);
Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.
Gợi ý làm bài
a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:
\(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\)
Suy ra: \(BD = a\sqrt 2 \)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{DE} \over {DB}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr
& {{DB} \over {DC}} = {{a\sqrt 2 } \over {2a}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
Vậy \({{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\)
b) Xét ∆BDE và ∆CDB, ta có:
\({{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\,(1)\)
\(\widehat {BDE} = \widehat {BDC}\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra ∆BDE đồng dạng ∆CDB.
c) * Cách 1:
Ta có: ∆BDE đồng dạng ∆CDE \(\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}\)
Mặt khác:
\(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\,(3)\)
Trong ∆BCD, ta có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {CBD} = \widehat {BCD}\) (tính chất góc ngoài) (4)
\(\widehat {ADB} = 45^\circ \) (vì ∆ABD vuông cân tại A) (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \)
* Cách 2:
Trong tam giác ABC, ta có:
\(tg\widehat {AEB} = {{AB} \over {AC}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\)
Suy ra: \(\widehat {AEB} = 26^\circ 34’\)
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
Xem Thêm : Giải bài 50, 51, 52 trang 76 SBT Toán lớp 7 tập 1
\(tg\widehat {ACB} = {{AB} \over {AC}} = {a \over {3a}} = {1 \over 3}\)
Suy ra: \(\widehat {ACB} = 18^\circ 26’\)
Vậy: \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \)
Câu 85 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
(h.31) Tính góc α tạo bởi hai mái nhà, biết rằng mỗi mái nhà dài 2,34m và cao 0,8m.
Gợi ý làm bài
Hai mái nhà bằng nhau tạo thành hai cạnh của một tam giác cân. Chiều cao cảu mái nhà chia góc ở đỉnh ra thành hai phần bằng nhau.
Ta có:
\(\cos {\alpha \over 2} = {{AH} \over {AB}} = {{0,8} \over {2,34}} \approx 0,4319\)
Suy ra: \({\alpha \over 2} = 70^\circ \)
Vậy \(\alpha = 140^\circ \).
Câu 86 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hình 32.
Biết:
\(AD \bot DC,\widehat {DAC} = 74^\circ \)
\(\widehat {AXB} = 123^\circ ,AD = 2,8\,cm\)
AX = 5,5cm, BX = 4,1cm.
a) Tính AC.
b) Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY ⁄⁄ BX. Hãy tính XY
c) Tính diện tích tam giác BCX
Gợi ý làm bài
a) Trong tam giác vuông ACD, ta có:
\(AC = {{AD} \over {\cos \widehat {CAD}}} = {{2,8} \over {\cos 74^\circ }} \approx 10,158\,(cm)\)
b) Kẻ \(DN \bot AC\)
Trong tam giác vuông AND, ta có:
\(\eqalign{
& DN = AD.\sin \widehat {DAN} \cr
& = 2,8.\sin 74^\circ \approx 2,692\,(cm) \cr} \)
\(\eqalign{
& AN = AD.\cos \widehat {DAN} \cr
& = 2,8.\cos 74^\circ \approx 0,772\,(cm) \cr} \)
Vì BX // DY nên \(\widehat {D{\rm{YX}}} = \widehat {BXY} = 123^\circ \) ( hai góc so le trong)
Mà \(\widehat {DYN} + \widehat {D{\rm{YX}}} = 180^\circ \) (kề bù)
Suy ra:
\(\widehat {DYN} = 180^\circ – \widehat {D{\rm{YX}}} = 180^\circ – 123^\circ = 57^\circ \)
Xem Thêm : Giải bài 22, 23, 24 trang 10 SBT Toán 9 tập 2
Trong tam giác vuông DYN, ta có:
\(\eqalign{
& NY = DN.\cot g\widehat {DYN} \cr
& \approx 2,692.\cot g57^\circ \approx 1,748\,(cm) \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& XY = AX – (AN + NY) \cr
& = 5,5 – (0,772 + 1,748) = 2,98\,(cm) \cr} \)
c) Ta có:
\(CX = AC – AX \approx 10,158 – 5,5 = 4,658\,(cm)\)
Kẻ \(BM \bot CX\)
Ta có:
\(\widehat {BXC} = 180^\circ – \widehat {BXA} = 180^\circ – 123^\circ = 57^\circ \)
Trong tam giác vuông BMX, ta có:
\(\eqalign{
& BM = BX.\sin \widehat {BXC} \cr
& = 4,1.\sin 57^\circ \approx 3,439\,(cm) \cr} \)
\(\eqalign{
& {S_{BCX}} = {1 \over 2}BM.CX \cr
& = {1 \over 2}.3,439.4,658 = 8,009\,\left( {c{m^2}} \right). \cr} \)
Câu 87 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tam giác ABC có \(\hat A = 20^\circ ,\widehat B = 30^\circ ,AB = 60cm\). Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. (h.33).
Hãy tìm:
a) AP, BP;
b) CP.
Gợi ý làm bài
a) Trong tam giác vuông ACP, ta có:
\(AP = CP.\cot g\widehat {PAC}\,(1)\)
Trong tam giác vuông BCP, ta có:
\(BP = CP.\cot g\widehat {PBC}\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\((AP + BP) = CP.\cot g\widehat {PAC} + CP.\cot g\widehat {PBC}\)
Hay \(AB = CP(\cot g\widehat {PAC} + \cot g\widehat {PBC})\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& CP = {{AB} \over {\cot g\widehat {PAC} + \cot g\widehat {PBC}}} \cr
& = {{AB} \over {\cot g20^\circ + \cot g30^\circ }} \approx 13,394\,(cm) \cr} \)
b) Thay CP = 13,394 vào (1) ta có:
\(AP = 13,394.\cot g20^\circ \approx 36,801\,(cm)\)
Thay CP = 13,394 vào (2) ta có:
\(BP = 13,394.\cot g30^\circ \approx 27,526\,(cm)\)
Truong Cao Dang Nghe Dong Nai
Nguồn: https://cdndn.edu.vn
Danh mục: Giải bài tập
